(2) 完全数が持つ性質から大きな完全数を探してみる。

前回の結果を再掲載します。

$\begin{align*} 6&=2\ 3&&\{1,2,3,6\}\\ 28&=2^2\ 7&&\{1,2,4,7,14,28\}\\ 496&=2^{4}\ 31&&\{1,2,4,8,16,31,62,124,248,496\}\\ 8128&=2^{6}\ 127&&\{1,2,4,8,16,32,64,127,254,508,1016,2032,4064,8128\} \end{align*}$

2進数や16進数に馴染みがあると、ピンと来るかもしれません。上の素因数分解のところは、以下のように書き直せます。

$\begin{align*} 6&=2^1(2^2-1)\\ 28&=2^2(2^3-1)\\ 496&=2^{4}(2^5-1)\\ 8128&=2^{6}(2^7-1) \end{align*}$

完全数はすべて $2^{k-1}(2^k-1)$ の形をしています。実際、Ευκλείδης(ユークリッド)が2300年以上前に以下の定理を証明しています。

もし $2^k-1$ が素数なら、 $2^{k-1}(2^k-1)$ は完全数である。

証明:
$2^{k-1}$ の約数は、

$\{1, 2, ..., 2^{k-1}\}$

これらは $2^{k-1}(2^k-1)$ の約数。
$2^k-1$ は素数だから、 $2^{k-1}(2^k-1)$ の残りの約数は、 $2^{k-1}$ の約数に $2^k-1$ を掛けたもの。ただし、約数の中に自身も含みます。
だから、 $2^{k-1}(2^k-1)$ の約数は、

$\{1, 2, ..., 2^{k-1}, 2^k-1, 2(2^k-1), ..., 2^{k-2}(2^k-1)$

約数すべてを足し合わせると、

$\begin{align*} &1+2+...+2^{k-1}+2^k-1+2(2^k-1)+...+2^{k-1}(2^k-1)\\ =&(1+2^k-1)(1+2+...+2^{k-1})\\ =&2^{k}(2^{k-1}-1) \end{align*}$

自身を含む約数の和が自身の2倍になっていますから、 $2^{k-1}(2^k-1)$ は完全数。

$2^k-1$ はMersenne数、その中の素数はMersenne素数と呼ばれています。では、Mersenne素数をMaximaで探してみましょう。

for k : 1 thru 1000 do if primep(2^k-1) then print("k=", k, "2^k-1=", 2^k-1)$

$\begin{align*} &3, &k&=2\\ &7, &k&=3\\ &31, &k&=5\\ &127, &k&=7\\ &8191, &k&=13\\ &131071, &k&=17\\ &524287, &k&=19\\ &2147483647, &k&=31\\ &2305843009213693951, &k&=61\\ &618970019642690137449562111, &k&=89\\ &162259276829213363391578010288127, &k&=107\\ &170141183460469231731687303715884105727, &k&=127\\ &686479766013060971498190079908[97 digits]999716643812574028291115057151, &k&=521\\ &531137992816767098689588206552[123 digits]351943831270835393219031728127, &k&=607 \end{align*}$