Fermat予想に対して、Kummerに続いて、Vandiverが、非正則素数pに関して以下を証明したそうです。
のうち、分子が素数pで割り切れるものをとします。
pより大きくp(p-1)より小さい素数で、rp+1(rは自然数)の形に書けるものPがあり、かつ、となる自然数uが存在する場合、
それぞれに対して、
ならば、素数pの場合のFermatの最終定理が成り立つ。
非正則素数37が上記の条件を満たすかMaximaでチェックしてみましょう。
/* 9.2.14m */ p : 37$ a : [32]$ r : for r : 2 step 2 thru p - 2 do ( P : r*p + 1, if primep(P) then return(r) ) - 2$ if primep(P) then print("Prime P = ", P, ", r = ", r)$ u : 2$ if power_mod(u, r, P) # 1 then print("u = 2 works")$ m : (p - 1)/2$ for w : 1 thru length(a) do ( twok : a[w], d : sum(j^(p - twok), j, 1, m), Q : mod(power_mod(u, -r*d/2, P)* product(power_mod(power_mod(u, r*b, P) - 1, b^(p - 1 - twok), P), b, 1, m), P), if power_mod(Q, r, P) # 1 then print("Criterion holds for ", p, ", ", twok) )$
Prime P = 149, r = 4
u = 2 works
Criterion holds for 37, 32
参考文献
- Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.272-p.276
- 武隈, ベルヌーイ数の周辺