(28) 均一場内の相対論的運動の厳密解 - 読み書きプログラミング

前回の問題の厳密解を求めます。
LagrangianからEuler-Lagrange方程式を導出し、積分ましょう。

/* 5.3.14m, 5.3.16m */
L : -m*c^2*sqrt(1 - (v/c)^2)-q*E*z$
sol : solve((diff(L, v) = (integrate(diff(L, z), t) + c0))^2, v)$
z : integrate(radcan(v), t), sol[1]$
z : z - at(z, t=0);
solve(at(z, t=1) = 0, c0);
solve(%^2, c0);
z : z, %$
print("z(t)=", z)$

$-\frac{c\,\sqrt{{q}^{2}\,{t}^{2}\,{E}^{2}-2\,c0\,q\,t\,E+{c}^{2}\,{m}^{2}+{c0}^{2}}}{q\,E}$

$\frac{c\,\sqrt{{c}^{2}\,{m}^{2}+{c0}^{2}}}{q\,E}-\frac{c\,\sqrt{{q}^{2}\,{t}^{2}\,{E}^{2}-2\,c0\,q\,t\,E+{c}^{2}\,{m}^{2}+{c0}^{2}}}{q\,E}$

$[\sqrt{{q}^{2}\,{E}^{2}-2\,c0\,q\,E+{c}^{2}\,{m}^{2}+{c0}^{2}}=\sqrt{{c}^{2}\,{m}^{2}+{c0}^{2}}]$

$[c0=\frac{q\,E}{2}]$

$z(t)=\frac{c\,\sqrt{\frac{{q}^{2}\,{E}^{2}}{4}+{c}^{2}\,{m}^{2}}}{q\,E}-\frac{c\,\sqrt{{q}^{2}\,{t}^{2}\,{E}^{2}-{q}^{2}\,t\,{E}^{2}+\frac{{q}^{2}\,{E}^{2}}{4}+{c}^{2}\,{m}^{2}}}{q\,E}$

使用した機能

radcan

前回の摂動解との差を見ておきます。
厳密解を $c=\infty, t=\frac{1}{2}$ でTaylor展開しましょう。

/* 5.3.22m */
taylor(z, [c, t], [inf, 1/2], [2, 4]);

$\frac{q\,E}{8\,m}-\frac{{q}^{3}\,{E}^{3}}{128\,{m}^{3}\,{c}^{2}}+...-\frac{q\,E\,{\left( t-\frac{1}{2}\right) }^{2}}{2\,m}+\left( \frac{{q}^{3}\,{E}^{3}\,{\left( t-\frac{1}{2}\right) }^{4}}{8\,{m}^{3}\,{c}^{2}}+...\right) +...$

頂点がNewton近似と比較して、 $\frac{{q}^{3}\,{E}^{3}}{128\,{m}^{3}\,{c}^{2}}$ 低くなります。摂動計算の $\frac{1}{4}\frac{3\,{q}^{3}\,{E}^{3}}{80\,{c}^{2}\,{m}^{3}}$ も近い値だったことがわかりました。

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.120-p.125