(29) 一般相対性理論を垣間見る - 読み書きプログラミング

均一な重力場の中で、固有時間が最大となる質点の運動は何か。

でした。
一般相対性理論では「均一な重力場=一定加速度座標系」ですが、この座標系を定義するのが色々大変です。
そこで、テキストから離れて、まず均一な電場の中での問題を解きました。

今、もし $q=m, E=g$ とすると、解いた問題は、均一な重力場の問題と同じになります。
一方、問題を解く時に、質点の運動は作用

$S=\int_{t_1}^{t^2}{-mc^2\sqrt{1-(\frac{\frac{dz}{dt}}{c})^2}-mgz(t)dt}$

を最小にすることを使っています。
また一方で、一般相対性理論では自由落下の運動は固有時間が作用に比例することが知られていて、「固有時間を最大にする運動(測地線運動)＝作用を最小にする運動」となります。
固有時間は以下のように計算されます。

$\tau=\int_{t_1}^{t^2}{\sqrt{1-(\frac{\frac{dz}{dt}}{c})^2}+\frac{gz(t)}{c^2}dt}$

さて、上記式を一般相対論的に解釈すると、

固有時間を計算するには、速度の補正 $\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2$ を行う。これは特殊相対論的効果で、速く運動してる時計は進みが遅く見える。
さらに、「重力ポテンシャル」の補正 $\frac{gz(t)}{c^2}$ を行う。均一な重力場(加速度運動)の座標系では、「重力ポテンシャル」の高い場所の時計は、瞬間瞬間、一緒に静止している固有時間より速く進む(同時刻性が前にずれる)ので、原点の時計に対する補正項を入れる。