(26) 相対論的エネルギー - 読み書きプログラミング

質量mの物体が速度vで移動している時の相対論的総エネルギーは以下のように書けます。

$E=\frac{m c^2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

総エネルギーを速度で展開してみましょう。

/* 5.3.2m */
E(v) := m*c^2/sqrt(1 - (v/c)^2)$
taylor(E(v), v, 0, 8);

${c}^{2}\,m+\frac{m\,{v}^{2}}{2}+\frac{3\,m\,{v}^{4}}{8\,{c}^{2}}+\frac{5\,m\,{v}^{6}}{16\,{c}^{4}}+\frac{35\,m\,{v}^{8}}{128\,{c}^{6}}+...$

初項には、光速度の二乗 $c^2$ を係数に持つ最も美しい物理法則

$E=m c^2$

が現れ、第二項にNewtonの運動エネルギーが見えます。第三項以降は、 $c^{2n}$ を分母に持つことにも注目です。