(24) 摂動計算 - 読み書きプログラミング

位置エネルギーを以下のように量子調和振動子からの1次の摂動で考えます。

$V'(x)=x^2+\lambda x^4$

エネルギー順位の摂動展開は、以下のようになります。

$E_n'=E_n+M_{n n}+\frac{1}{2}\sum_{m\neq n}{\frac{|M_{m n}|^2}{n-m}}+...$

ここで、 $M_{m n}$ は

$M_{m n}=\int_{-\infty}^{\infty}{\Psi_{m}(x)\lambda x^4\Psi_{n}(x)dx}$

Hermite多項式について以下の積分公式が知られています。

$I_{m n k}=\int_{-\infty}^{\infty}{H_m(x)H_n(x)H_k(x)e^{-x^2}dx}$

$=\frac{2^sm!n!k!\sqrt{\pi}}{(s-k)!(s-n)!(s-m)!}$

ここで、 $s=\frac{m+n+k}{2}$ 。

$M_{m n}$ を計算するために、 $x^4$ をHermite多項式で展開しましょう。

/* 5.2.30m */
f(x) := a*hermite(0, x) + b*hermite(2, x) + c*hermite(4, x)$
solve([f(0) = 0, at(diff(f(x), x, 2), x = 0), at(diff(f(x), x, 4), x = 0) = 4!], [a, b, c]);

$[[a=\frac{3}{4},b=\frac{3}{4},c=\frac{1}{16}]]$

続いて， $M_{m n}$ を求めましょう。

/* 5.2.34m */
texput(lambda1, "\\lambda")$

M[m, n] := block(
  [p, q, d0, d1, d2],
  if mod(m + n, 2) > 0 then return(0),
  p : (m + n) / 2,
  q : abs((m - n) / 2),
  d0 : if q = 0 then 1 else 0,
  d1 : if q < 2 then 1 else 0,
  d2 :if q = 0 then 1/2 elseif q < 3 then 1 else 0,
  return(lambda1 * sqrt(m! * n!) * (1 / (p! * q!) * (3/4 * d0 + 3*p/(q+1)*d1 + 6*p*(p - 1)*d2/((q + 1)*(q + 2))))))$

assume(n>0)
print(M[n, n])$
print(M[0, 2])$
print(M[0, 4])$
print(M[0, 6])$

$\frac{\lambda\,\left( 6\,{n}^{2}+6\,n+3\right) \,\left| n!\right| }{4\,n!}$

$\frac{3\,\lambda}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{6}\,\lambda}{2}$

$0$

使用した機能

texput

Maximaはn!の絶対値について知識を持っていないようです。

求めた結果から、

$E_n'=E_n+\frac{3\lambda}{4}(2n^2+2n+1)+O(\lambda^2)$

がわかりました。
n=0 についてさらに、 $\lambda^2$ の項を求めましょう。

/* 5.2.36m */
sum(M[0, m]^2/(-2*m), m, 2, 4)

$-\frac{21\,{\lambda}^{2}}{16}$

従って、

$E_0'=1+\frac{3\lambda}{4}-\frac{21\lambda^2}{16}+O(\lambda^3)$

がわかりました。

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.105-p.110

未参考文献

Gradshteyn&Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Seventh Edition