(10) 円周等分多項式 - 読み書きプログラミング

円周等分多項式は、 $z^n-1=0$ の複素数解のうち、n乗すると初めて1になる解を根に持つ既約多項式です。正確な定義は以下の式になります。

$F_{k}(z)=\prod_{1\le\, j\,\le\,k, (j,k)=1}(z-e^{2\pi\,i\,j/k})$

円周等分多項式をMaximaでいくつか書き出してみましょう。

/* 4.1.24m */
cyclotomic(k, z) := trigrat(product(if gcd(j, k) = 1 then z - exp(2*%pi *%i*j/k) else 1, j, 1, k))$
for j : 1 thru 10 do print("C", j, " = ",cyclotomic(j, z))$

$\begin{align*} C1&= z-1\\ C2&= z+1\\ C3&= {z}^{2}+z+1\\ C4&= {z}^{2}+1\\ C5&= {z}^{4}+{z}^{3}+{z}^{2}+z+1\\ C6&= {z}^{2}-z+1\\ C7&= {z}^{6}+{z}^{5}+{z}^{4}+{z}^{3}+{z}^{2}+z+1\\ C8&= {z}^{4}+1\\ C9&= {z}^{6}+{z}^{3}+1\\ C10&= {z}^{4}-{z}^{3}+{z}^{2}-z+1 \end{align*}$

使用した機能

trigrat
gcd

円周等分多項式は、以下のようにも表されます。

$F_{k}(z)=\prod_{d|k}(x^{k/d}-1)^{\mu(d)}$

$d|k$ は自然数kを割り切る自然数dという意味です。
$\mu(d)$ はメビウス函数です。

こちらを使って、もう一度書き出してみましょう。

cyclotomic2(k, z) := ratsimp(
   product(if mod(k, d) = 0 then (z^(k/d)-1)^moebius(d) else 1, d, 1, k))$
for j : 1 thru 10 do print("C", j, " = ",cyclotomic2(j, z))$

使用した機能

moebius

同じ結果が得られました。

円周等分多項式の係数の絶対値はすべて1に見えますが、この推測は間違いです。 $k=105$ を見ておきましょう。

/* 4.1.25m */
cyclotomic2(105, z)$

${z}^{48}+{z}^{47}+{z}^{46}-{z}^{43}-{z}^{42}-2\,{z}^{41}-{z}^{40}-{z}^{39}+{z}^{36}+{z}^{35}+{z}^{34}+{z}^{33}+{z}^{32}+{z}^{31}-{z}^{28}-{z}^{26}-{z}^{24}-{z}^{22}-{z}^{20}+{z}^{17}+{z}^{16}+{z}^{15}+{z}^{14}+{z}^{13}+{z}^{12}-{z}^{9}-{z}^{8}-2\,{z}^{7}-{z}^{6}-{z}^{5}+{z}^{2}+z+1$

41次の係数に-2が現れました。

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.49-p.51