(61) Newtonの重力理論と楕円軌道 - 読み書きプログラミング

Newtonの万有引力理論では、二体問題の場合、軌道は楕円になります。
これを順を追って考えます。
角運動量とエネルギーが保存することから以下の式が時間に依存しなくなります。

$mr^2\frac{d\theta}{dt}=L$

$\frac{m}{2}((\frac{dr}{dt})^2+r^2(\frac{d\theta}{dt})^2)-\frac{GMm}{r}=E$

$\frac{dr}{dt}, \frac{d\theta}{dt}$ について解きましょう。

/* 9.4.10m */
derivs : solve([(m/2)*(rDot^2 + r^2 * thetaDot^2) - G * M * m / r = E, m * r^2 * thetaDot = L], [rDot, thetaDot]);

$[[rDot=-\frac{\sqrt{2\,{m}^{2}\,r\,G\,M-{L}^{2}+2\,m\,{r}^{2}\,E}}{m\,r},thetaDot=\frac{L}{m\,{r}^{2}}],[rDot=\frac{\sqrt{2\,{m}^{2}\,r\,G\,M-{L}^{2}+2\,m\,{r}^{2}\,E}}{m\,r},thetaDot=\frac{L}{m\,{r}^{2}}]]$

上の結果から、 $\frac{dr}{d\theta}$ を求めましょう。

/* 9.4.11m */
drdtheta : ev(rDot / thetaDot, derivs[2]);

$\frac{r\,\sqrt{2\,{m}^{2}\,r\,G\,M-{L}^{2}+2\,m\,{r}^{2}\,E}}{L}$

軌道を求めるため、積分しましょう。

/* 9.4.12m */
assume(L > 0, G > 0, m > 0, r > 0)$
thet : ratsimp(integrate(1/drdtheta, r));

$\mathrm{asin}\left( \frac{\left( {m}^{2}\,r\,G\,M-{L}^{2}\right) \,\sqrt{4\,{m}^{4}\,{G}^{2}\,{M}^{2}+8\,m\,E\,{L}^{2}}}{2\,{m}^{4}\,r\,{G}^{2}\,{M}^{2}+4\,m\,r\,E\,{L}^{2}}\right)$

rを $\theta$ の函数として解きましょう。

/* 9.4.13m */
soln : solve(sin(theta) = sin(thet), r);

$[r=\frac{{L}^{2}\,\sqrt{4\,{m}^{4}\,{G}^{2}\,{M}^{2}+8\,m\,E\,{L}^{2}}}{{m}^{2}\,G\,M\,\sqrt{4\,{m}^{4}\,{G}^{2}\,{M}^{2}+8\,m\,E\,{L}^{2}}-2\,{m}^{4}\,\mathrm{sin}\left( \theta\right) \,{G}^{2}\,{M}^{2}-4\,m\,\mathrm{sin}\left( \theta\right) \,E\,{L}^{2}}]$

これは楕円軌道を示しています。

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.294-p.298