以下の恒等式が成り立ちます。
右辺がEuler積と呼ばれる形です。これをMaximaを使って実感してみましょう。表示をシンプルにするため、sに-sを代入し、Euler積の中身をMaclaurin展開して、検証する次数まで取り出します。
/* 9.3.3m */ proofLimit : 15$ f(x, deg) := at(taylor(1/(1 - y), y, 0, deg), y = x)$ prime : [2, 3, 5, 7, 11, 13]$ z(s) := product(f(prime[m]^s, floor(log(proofLimit)/log(prime[m]))), m, 1, 6)$ z(s);
次に展開して、整理します。
/* 9.3.4m, 9.3.5m */ t : z(s), expand; matchdeclare([xx, yy, zz], true, pp, atom)$ defrule(power1, xx^(2*pp), ev(xx^2)^pp)$ defrule(power2, xx^(3*pp), ev(xx^3)^pp)$ defrule(power3, zz*xx^pp*yy^pp, zz*(xx*yy)^pp)$ t : apply1(t, power1, power2, power3);
使用した機能
参考文献
- Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.272-p.279