(56) Vandiverの判定基準 - 読み書きプログラミング

Fermat予想に対して、Kummerに続いて、Vandiverが、非正則素数pに関して以下を証明したそうです。
$B_2, B_4, ..., B_{p-3}$ のうち、分子が素数pで割り切れるものを $B_{a_1}, ..., B_{a_s}$ とします。
pより大きくp(p-1)より小さい素数で、rp+1(rは自然数)の形に書けるものPがあり、かつ、 $u^r\mod P\neq 1$ となる自然数uが存在する場合、
$B_{a_1}, ..., B_{a_s}$ それぞれに対して、

$d=\sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}{j^{p-a_i}}$

$Q_{a_i}=u^{-\frac{rd}{2}}\prod_{b=1}^{\frac{p-1}{2}}{(u^{rb}-1)^{b^{p-1-a_i}}}$

とします。

${Q_{a_i}}^r\mod P\neq 1, (i=1...s)$ ならば、素数pの場合のFermatの最終定理が成り立つ。

非正則素数37が上記の条件を満たすかMaximaでチェックしてみましょう。

/* 9.2.14m */
p : 37$
a : [32]$
r : for r : 2 step 2 thru p - 2 do (
  P : r*p + 1,
  if primep(P) then return(r)
  ) - 2$
if primep(P) then print("Prime P = ", P, ", r = ", r)$
u : 2$
if power_mod(u, r, P) # 1 then print("u = 2 works")$
m : (p - 1)/2$
for w : 1 thru length(a) do (
  twok : a[w],
  d : sum(j^(p - twok), j, 1, m),
  Q : mod(power_mod(u, -r*d/2, P)*
    product(power_mod(power_mod(u, r*b, P) - 1, b^(p - 1 - twok), P), b, 1, m), P),
  if power_mod(Q, r, P) # 1 then print("Criterion holds for ", p, ", ", twok)
  )$