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読み書きプログラミング

日常のプログラミングで気づいたことを綴っています

(41) ヘリウム原子の基底状態

Maxima Crandall

ヘリウム原子の電子で、球対称な解について考えます。
ハミルトニアンはこの場合、

となります。単位系は式がシンプルになるように取りました。


基底状態のエネルギーを求めるのに、以下の試行波動関数から出発します。

は規格化されていると考えます。

基底状態のエネルギーを求めるべく、エネルギーを最小にするZを求めます。

ここで、はr1とr2の間の角です。

以下の変数変換をすると、Zを積分の外に出すことができます。



ここで、

では、Maximaでこれらの積分を実行して、Eの最小値を求めましょう。

/* 7.2.20m */
psi(u1, u2) := exp(-u1 - u2)$
normalizer : integrate(integrate(u1^2*u2^2*psi(u1, u2)^2, u1, 0, inf), u2, 0, inf)$
laplacian1(u1, u2) := 1/u1^2*diff(u1^2*diff(psi(u1, u2), u1), u1)$
attraction : integrate(integrate(u1^1*u2^2*psi(u1, u2)^2, u1, 0, inf), u2, 0, inf)$
kinetic : integrate(integrate(u1^2*u2^2*psi(u1, u2)*laplacian1(u1, u2), u1, 0, inf), u2, 0, inf)$
repulsion : integrate((integrate(u1^2*psi(u1, u2)^2, u1, 0, u2) +
  integrate(psi(u1, u2)^2*u1*u2, u1, u2, inf))*u2, u2, 0, inf)$
expect : (-z^2*kinetic - 4*z*attraction + z*repulsion) / normalizer;
zsol:solve(diff(expect,z)=0,z);
expect, zol[1];

Eを最小とするZの値が2よりも小さいということは、原子核電荷が互いの電子で遮蔽されて少し小さ目の電荷相当になっていることを示しています。