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読み書きプログラミング

日常のプログラミングで気づいたことを綴っています

(38) Sierpinski三角形

自己相似な三角形であるSierpinski三角形は、色々な方法で生成することができます。
ここでは、カオスゲーム(ランダム反復函数系)を使ってみます。
ある点に対して、ランダムに(0, 0), (1, 0), (0, 1)のいずれかを選び、ある点と選ばれた点の中点を与える写像を考えます。ある初期値(ここでは(0.7, 0.4))から始め、この写像の繰り返しの軌跡の再近接格子点を集めると、Sierpinski三角形が出来上がります。

描画してみましょう。

/* 6.3.10m */
aging : 1000$
grid : 200$
m : 0.7$
n : 0.4$
lis : [];
for i : 1 thru grid*grid/2 + aging do (
  if i > aging then (
    mm : round(grid*m)/grid,
    nn : round(grid*n)/grid,
    if not member([mm, nn], lis) then lis : endcons([mm, nn], lis)
    ),
  q : random(3),
  if q = 0 then (
    m : m/2,
    n : n/2
    )
  elseif q = 1 then (
    m : m/2,
    n : (1 + n)/2
    )
  else (
    m : (1 + m)/2,
    n : n/2
    )
  )$
print(length(lis))$
plot2d([discrete, lis], [style, dots]);


描画に使う格子点の数Nとグリッド長Lの関係がSierpinski三角形のフラクタル次元を示します。具体的には、

で次元が与えられます。

Sierpinski三角形のフラクタル次元を算出してみましょう。

/* 6.3.14m */
aging : 1000$
for grid : 10 step 10 thru 60 do (
  m : 0.7,
  n : 0.4,
  lis : [],
  for i : 1 thru grid*grid/2 + aging do (
    if i > aging then (
      mm : round(grid*m)/grid,
      nn : round(grid*n)/grid,
      if not member([mm, nn], lis) then lis : endcons([mm, nn], lis)
      ),
    q : random(3),
    if q = 0 then (
      m : m/2,
      n : n/2
      )
    elseif q = 1 then (
      m : m/2,
      n : (1 + n)/2
      )
    else (
      m : (1 + m)/2,
      n : n/2
      )
    ),
  print(grid, " ", length(lis), " ", float(log(length(lis))/log(grid)))
  )$

Sierpinski三角形のフラクタル次元はなので、収束の方向を考えるとちょっとずれています。
Crandallさん曰く、

このデータは非常に正確であるというわけではない。実際、数値の収束傾向が問題ありげな形で現れている。著者はこの研究でわざと、フラクタルの統計的な扱いからいかなる問題が生じるかを示すために、あらかじめ考えておいて例として取り上げたのである。

とのことです。うーん、誰か問題と解決方法を教えてください。