離散力学系について考えます。(本質的にロジスティック写像と同じ)以下の写像を対象にします。
例えば、c=1.23の時、初期値x=0から始めるこの繰り返し写像は2点からなる周期解に収束します。これを見ておきましょう。
/* 6.3.2m */ load("dynamics")$ evolution(y^2-c, 0, 50), c : 1.23$
使用した機能
cを変化させた時、周期解に現れる点の数がどうなるか見てみましょう。
/* 6.3.3m */ orbits(y^2 - c, 0, 100, 100, [c, 0.5, 2, 0.005], [style, dots]);
使用した機能
cを増やすに連れて周期解に現れる点の数が増えていきます。点の数が変わるcの値を分岐点と呼びます。
例えば、を求めてみましょう。
/* 6.3.5m */ clow : 1.2$ chigh : 1.3$ pre : 0$ c : 1$ while true do ( pre : c, c : (clow + chigh) / 2, x : 0, for j : 1 thru 1000 do x : x^2 - c, y : [], for j : 1 thru 100 do ( x : x^2 - c, yv : round(300*x)/300, if not member([c, yv], y) then y : endcons([c, yv], y) ), if length(y) <= 2 then clow : c else chigh : c )$ print(c, " ", length(y))$
参考文献
- Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.171-p.175