(33) 共振 - 読み書きプログラミング

強制力と減衰力を受けた調和振動子を考えます。運動方程式は以下の通りです。

$m\frac{d^2x}{dt^2}+2m\gamma\frac{dx}{dt}+m\omega_0^2x=F e^{i\omega t}$

定常解の周波数は強制力の周波数ω/2πになるはずです。この時の振幅を求めてみましょう。

/* 6.1.21m */
x(t) := A*exp(%i*w*t)$
sol : solve(m*diff(x(t), t, 2) + 2*m*g*diff(x(t),t) + m*w0^2*x(t) = F*exp(%i*w*t), [A])$
A : at(A, sol[1]);

$\frac{F}{m\,{w0}^{2}-m\,{w}^{2}+2\,i\,g\,m\,w}$

強制力の周波数と振幅/位相の関係を見てみましょう。

/* 6.1.23m, 6.1.24m */
rule : [m = 1, F = 1, w0 = 10, g = 0.3]$
plot2d(abs(A), [w, 0, 15]), rule$
plot2d(atan(imagpart(A)/realpart(A), [w, 0, 15]), rule$

最大振幅を得る周波数を求めましょう。

/* 6.1.25m, 6.1.26m */
d : denom(A)$
e : cabs(d)^2, expand$
solve(diff(e, w) = 0, w);

$[w=-\sqrt{{w0}^{2}-2\,{\gamma}^{2}},w=\sqrt{{w0}^{2}-2\,{\gamma}^{2}},w=0]$

使用した機能

denom

共鳴周波数は、固有振動数より減衰力の分だけ低くなることを示しています。

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.149-p.152