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読み書きプログラミング

日常のプログラミングで気づいたことを綴っています

(30) Lorentz計量とCompton散乱

二つの慣性座標系がx軸方向に速度vですれ違っているとします。
ラピディティgを以下のように定義します。

すると、二つの慣性座標系間のLorentz変換
と表されます。
これは、Lorentz計量
を不変に保ちます。
これをMaximaで確認してみましょう。

/* 5.3.31m */
r : [x, y, z, %i*c*t]$
L : [[cosh(g), 0, 0, %i*sinh(g)],
      [0, 1, 0, 0],
      [0, 0, 1, 0],
      [-%i*sinh(g), 0, 0, cosh(g)]]$
trigsimp((L . r) . (L . r));

使用した機能
  1. .

質点の四次元運動量の場合、Lorentz計量はになります。
これを使って、Compton効果を導出してみましょう。

/* 5.3.41m, 5.3.42m, 5.3.43m, 5.3.44m */
/* hはPlanck定数 */
p_gamma_i : [h/lambda_i, 0, 0, %i*h/lambda_i]$
p_gamma_s : [h/lambda_f*cos(theta), h/lambda_f*sin(theta), 0, %i*h/lambda_f]$
p_electron_i : [0, 0, 0, %i*m*c]$
p_electron_s : p_electron_i + p_gamma_i - p_gamma_s$
trigsimp(p_electron_s . p_electron_s = -m^2*c^2);
% * lambda_f*lambda_i;
% + c^2*lambda_f*lambda_i*m^2;
% + 2*h^2*cos(theta) - 2*h^2;
ratsimp(% / (-2*c*h*m));

Compton効果が導出できました。