(30) Lorentz計量とCompton散乱 - 読み書きプログラミング

二つの慣性座標系がx軸方向に速度vですれ違っているとします。
ラピディティgを以下のように定義します。

$\tanh g=\frac{v}{c}$

すると、二つの慣性座標系間のLorentz変換は

$\begin{pmatrix} \cosh g & 0 & 0 & i\sinh g \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -i\sinh g & 0 & 0 & \cosh g \end{pmatrix}$

と表されます。
これは、Lorentz計量

$x^2+y^2+z^2-c^2t^2$

を不変に保ちます。
これをMaximaで確認してみましょう。

/* 5.3.31m */
r : [x, y, z, %i*c*t]$
L : [[cosh(g), 0, 0, %i*sinh(g)],
      [0, 1, 0, 0],
      [0, 0, 1, 0],
      [-%i*sinh(g), 0, 0, cosh(g)]]$
trigsimp((L . r) . (L . r));

${z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-{c}^{2}\,{t}^{2}$

使用した機能

質点の四次元運動量の場合、Lorentz計量は $-m^2c^2$ になります。
これを使って、Compton効果を導出してみましょう。

/* 5.3.41m, 5.3.42m, 5.3.43m, 5.3.44m */
/* hはPlanck定数 */
p_gamma_i : [h/lambda_i, 0, 0, %i*h/lambda_i]$
p_gamma_s : [h/lambda_f*cos(theta), h/lambda_f*sin(theta), 0, %i*h/lambda_f]$
p_electron_i : [0, 0, 0, %i*m*c]$
p_electron_s : p_electron_i + p_gamma_i - p_gamma_s$
trigsimp(p_electron_s . p_electron_s = -m^2*c^2);
% * lambda_f*lambda_i;
% + c^2*lambda_f*lambda_i*m^2;
% + 2*h^2*cos(theta) - 2*h^2;
ratsimp(% / (-2*c*h*m));

$-\frac{2\,{h}^{2}\,\mathrm{cos}\left( \theta\right) +{c}^{2}\,lambda\_f\,lambda\_i\,{m}^{2}+\left( 2\,c\,h\,lambda\_f-2\,c\,h\,lambda\_i\right) \,m-2\,{h}^{2}}{lambda\_f\,lambda\_i}=-{c}^{2}\,{m}^{2}$

$-2\,{h}^{2}\,\mathrm{cos}\left( \theta\right) -{c}^{2}\,lambda\_f\,lambda\_i\,{m}^{2}-\left( 2\,c\,h\,lambda\_f-2\,c\,h\,lambda\_i\right) \,m+2\,{h}^{2}=-{c}^{2}\,lambda\_f\,lambda\_i\,{m}^{2}$