(23) 量子調和振動子の離散固有値 - 読み書きプログラミング

1次元の量子調和振動子を考えます。単位系をうまく選んだ定常状態のSchrödinger方程式は以下の通りです。

$-\frac{d^2\Psi}{dx^2}+x^2\Psi=E\Psi$

中心から遠いところの振る舞いを考慮すれば、 $\Psi(x)=g(x)e^{-x^2/2}$ と置き換えるのが妥当です。その結果、Schrödinger方程式は以下になります。

$-\frac{d^2g}{dx^2}+2x\frac{dg}{dx}+g=Eg$

級数展開を使って、g(x)の偶函数の固有値の持つ性質を考えます。

$g(x)=\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{2i}}$

$a_{0}=1$ と規格化して(いつでもできる？)、係数が満たすべき関係を10次まで求めてみましょう。

/* 5.2.13m, 5.2.14m */
g : 1 + sum(a[i]*x^(2*i), i, 1, 5)$
coeff_equations(expand(-diff(g, x, 2) + 2*x*diff(g, x) + g) = expand(E*g), x);
solute : solve(%, [a[1], a[2], a[3], a[4], a[5]])$

$[0=0,17\,{a}_{4}-90\,{a}_{5}={a}_{4}\,E,0=0,13\,{a}_{3}-56\,{a}_{4}={a}_{3}\,E,0=0,9\,{a}_{2}-30\,{a}_{3}={a}_{2}\,E,0=0,5\,{a}_{1}-12\,{a}_{2}={a}_{1}\,E,0=0,1-2\,{a}_{1}=E]$

$[[{a}_{1}=-\frac{E-1}{2},{a}_{2}=\frac{{E}^{2}-6\,E+5}{24},{a}_{3}=-\frac{{E}^{3}-15\,{E}^{2}+59\,E-45}{720},{a}_{4}=\frac{{E}^{4}-28\,{E}^{3}+254\,{E}^{2}-812\,E+585}{40320},{a}_{5}=-\frac{{E}^{5}-45\,{E}^{4}+730\,{E}^{3}-5130\,{E}^{2}+14389\,E-9945}{3628800}]]$

使用した機能

coeff_equations

因数分解してましょう。

/* 5.2.15m */
factor(solute);

$[[{a}_{1}=-\frac{E-1}{2},{a}_{2}=\frac{\left( E-5\right) \,\left( E-1\right) }{24},{a}_{3}=-\frac{\left( E-9\right) \,\left( E-5\right) \,\left( E-1\right) }{720},{a}_{4}=\frac{\left( E-13\right) \,\left( E-9\right) \,\left( E-5\right) \,\left( E-1\right) }{40320},{a}_{5}=-\frac{\left( E-17\right) \,\left( E-13\right) \,\left( E-9\right) \,\left( E-5\right) \,\left( E-1\right) }{3628800}]]$

これは、Eが1, 5, 9, 13, 17,...のいずれかの時、係数がある次数で0になり、g(x)が多項式になることを示しています。
奇関数についても同様の考察をすると、全体でEが1, 3, 5, 7,...と奇数の時に多項式になることがわかります。逆にEがそれ以外のとき、0でない係数が無限に存在して無限遠で0にならない束縛状態でない状態であることを示唆しています。

g(x)はHermit多項式を規格化したものです。これを例で見ておきましょう。

/* 5.2.19m, 5.2.20m */
load(orthopoly)$
hermite(8, x);
g, solute, E=17;

$1680\,\left( \frac{16\,{x}^{8}}{105}-\frac{32\,{x}^{6}}{15}+8\,{x}^{4}-8\,{x}^{2}+1\right)$

$\frac{16\,{x}^{8}}{105}-\frac{32\,{x}^{6}}{15}+8\,{x}^{4}-8\,{x}^{2}+1$

使用した機能

hermite

最後に量子調和振動子の8次の波動関数を見ておきましょう。

/* 5.2.22m */
plot2d(g*exp(-x^2/2), [x, -7, 7]), solute, E=17$

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.98-p.105