読み書きプログラミング

日常のプログラミングで気づいたことを綴っています

(12) Scherk曲面の曲率

で表される曲面の各点の平均曲率Cは以下のように定義することができます。


球面の平均曲率を計算してみましょう。

/* 4.2.13m */
assume(r > 0)$
f(x, y) := sqrt(r^2 - x^2 - y^2)$
fx : diff(f(x, y), x); fy : diff(f(x, y), y)$
den : sqrt(1 + fx^2 + fy^2)$
meanCurvature : -1/2*(diff(fx/den, x) + diff(fy/den, y))$
ratsimp(meanCurvature, r)$

使用した機能


各点の平均曲率がと一定であることを確認できました。


Scherk曲面は至る所で平均曲率が0の曲面です。
この曲面を描いてみましょう。

/* 4.2.15m */
f(x, y) := log(cos(x)/cos(y))$
subpi : %pi/2 - 0.1$
plot3d(f(x, y), [x, -subpi, subpi], [y, -subpi, subpi])$


この曲面の平均曲率を計算してみましょう。

/* 4.2.15m */
fx : diff(f(x, y), x)$
fy : diff(f(x, y), y)$
den : sqrt(1 + fx^2 + fy^2)$
meanCurvature : -1/2 * (diff(fx/den, x) + diff(fy/den, y));
trigsimp(meanCurvature)$

使用した機能


平均曲率が至る所0の曲面は極小曲面とも呼ばれ、与えられた境界条件での面積最小の曲面(境界があるシャボン玉の局面)になります。