で表される曲面の各点の平均曲率Cは以下のように定義することができます。
球面の平均曲率を計算してみましょう。
/* 4.2.13m */ assume(r > 0)$ f(x, y) := sqrt(r^2 - x^2 - y^2)$ fx : diff(f(x, y), x); fy : diff(f(x, y), y)$ den : sqrt(1 + fx^2 + fy^2)$ meanCurvature : -1/2*(diff(fx/den, x) + diff(fy/den, y))$ ratsimp(meanCurvature, r)$
使用した機能
各点の平均曲率がと一定であることを確認できました。
Scherk曲面は至る所で平均曲率が0の曲面です。
この曲面を描いてみましょう。
/* 4.2.15m */ f(x, y) := log(cos(x)/cos(y))$ subpi : %pi/2 - 0.1$ plot3d(f(x, y), [x, -subpi, subpi], [y, -subpi, subpi])$
この曲面の平均曲率を計算してみましょう。
/* 4.2.15m */ fx : diff(f(x, y), x)$ fy : diff(f(x, y), y)$ den : sqrt(1 + fx^2 + fy^2)$ meanCurvature : -1/2 * (diff(fx/den, x) + diff(fy/den, y)); trigsimp(meanCurvature)$
参考文献
- Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.54-p.57