(9) テータ定数の恒等式 - 読み書きプログラミング

Jacobiの三番目のテータ定数は以下のように定義されます。

$\theta_{3}(q)=\sum_{n\in Z}q^{n^2}$

( $\theta_{3}(q)$ はqの函数ですが、テータ函数の原点の値であることから定数と呼ばれます。)
この函数に関して、以下の恒等式が成り立つことが知られています。

$\theta_{3}(q)^2=1+4\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{q^n}{1+q^{2n}}}$

これを有限項に限定して確認してみましょう。まず、右辺から。

/* 4.1.17m */
theta3(q) := sum(q ^ (n ^ 2), n, -5, 5)$
left : expand(theta3(q) ^ 2);

$4\,{q}^{50}+8\,{q}^{41}+8\,{q}^{34}+4\,{q}^{32}+8\,{q}^{29}+8\,{q}^{26}+12\,{q}^{25}+8\,{q}^{20}+4\,{q}^{18}+8\,{q}^{17}+4\,{q}^{16}+8\,{q}^{13}+8\,{q}^{10}+4\,{q}^{9}+4\,{q}^{8}+8\,{q}^{5}+4\,{q}^{4}+4\,{q}^{2}+4\,q+1$

使用した機能

sum
expand

次に左辺を計算しましょう。

/* 4.1.18m */
sum2(q) := 1 + 4 * sum(q ^ n / (1 + q ^ (2 * n)), n, 1, 25)$
deftaylor(right(q), sum2(q))$
taylor(right(q), q, 0, 25);

$1+4\,q+4\,{q}^{2}+4\,{q}^{4}+8\,{q}^{5}+4\,{q}^{8}+4\,{q}^{9}+8\,{q}^{10}+8\,{q}^{13}+4\,{q}^{16}+8\,{q}^{17}+4\,{q}^{18}+8\,{q}^{20}+12\,{q}^{25}+...$

使用した機能

deftaylor

最後に各項の差を見てみましょう。

/* 4.1.19m */
taylor(right(q) - left, q, 0, 25);

$0+...$

$O(q^{25})$ まで両辺の各項が等しいことが確認できました。

上で求めた右辺のMaclaurin展開のm次の係数は以下のように書くことができます。

$4*\sum_{odd\,d|m}(-1)^{(d-1)/2}$

和は、mを割り切る奇数dすべてについて取られます。

$\frac{1}{1+q^{2n}}=1+(-q^{2n})+(-q^{2n})^2+(-q^{2n})^3+...$

であることを使うとわかります。

一方、左辺のMaclaurin展開のm次の係数は、テータ函数の二乗の展開を考えると、以下のように書くことができます。

$\sum_{a^2+b^2=m}1$

和は、 $a^2+b^2=m$ を満たすすべての整数の組(a,b)について取られます。

従って、以下の命題が成り立ちます。

$a^2+b^2=m$ を満たすすべての整数の組(a,b)の数は、
$4\sum_{odd\, d|m}(-1)^{(d-1)/2}$
に等しい。

これを、例えば25次についてMaximaではっきり確認しておきましょう。

/* 4.1.21m */
right2(m) := 4 * lsum(if mod(m, d) = 0 then (-1) ^ ((d - 1) / 2) else 0, d, makelist(2 * i + 1, i, 0, floor(m - 1) / 2))$
left2(m) := sum(sum(if a ^ 2 + b ^ 2 = m then 1 else 0, a, -m, m), b, -m, m)$
print(right2(25), left2(25))$

$12\,12$

使用した機能

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.46-p.49