(8) Poisson和公式を用いた無限級数の計算 - 読み書きプログラミング

整数全体に渡る以下の和を計算します。

$S=\sum_{m\in Z}{\frac{1}{1+m^2}$

函数 $f(x)=e^{-|2\pi x|}$ に以下のPoisson和公式を適用するところから始めます。

$\sum_{n\in Z}{f(n)}=\sum_{m\in Z}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{2\pi i x m}dx}}$

$\begin{align*} \sum_{n\in Z}{e^{-|2\pi n|}}&=\sum_{m\in Z}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-|2\pi x|+2\pi i x m}dx}}\\ &=\sum_{m\in Z}{{\int_{0}^{\infty}{e^{-2\pi x+2\pi i x m}dx}}+{\int_{-\infty}^{0}{e^{2\pi x+2\pi i x m}dx}}}\\ &=\sum_{m\in Z}{\int_{0}^{\infty}{e^{-2\pi x+2\pi i x m}+e^{-2\pi x-2\pi i x m}dx}}\\ &=\sum_{m\in Z}{\int_{0}^{\infty}{2e^{-2\pi x}\cos{2\pi m x}dx}}\\ &=\sum_{m\in Z}{\int_{0}^{\infty}{e^{-y}\cos{my}\frac{dy}{\pi}}} \end{align*}$

最後の積分をMaximaに解かせてみましょう。

/* 4.1.10m */
term : integrate(exp(-y)*cos(m*y), y, 0, inf);

$\frac{1}{{m}^{2}+1}$

使用した機能

従って、以下が成り立ちます。

$\sum_{n\in Z}{e^{-|2\pi n|}}=\frac{1}{\pi}\sum_{m\in Z}{\frac{1}{{m}^{2}+1}}=\frac{1}{\pi}S$

左辺は2つの等比級数の和ですから、公式を使うと求められますが、Maximaなら解いてくれます。やってもらいましょう。

/* 4.1.13m */
load("simplify_sum")$

sum(%e^(-abs(2*%pi*n)), n, -inf, inf) = S/%pi;
simplify_sum(%);
solve(%, S);

$\sum_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{-2\,\pi \,\left| n\right| }=\frac{S}{\pi }$

$\frac{{e}^{-2\,\pi }}{1-{e}^{-2\,\pi }}+\frac{1}{1-{e}^{-2\,\pi }}=\frac{S}{\pi }$

$[S=\frac{\pi \,\left( {e}^{2\,\pi }+1\right) }{{e}^{2\,\pi }-1}]$

使用した機能

従って、

$\sum_{m\in Z}{\frac{1}{1+m^2}=\frac{\pi \,\left( {e}^{2\,\pi }+1\right) }{{e}^{2\,\pi }-1}$

参考文献

Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソンウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.44-p.46