読み書きプログラミング

日常のプログラミングで気づいたことを綴っています

Maxima

マニュアル grobner, itensor

grobnerとitensorの翻訳が一応終わりました。Gröbner基底のためのパッケージと指標テンソル操作の章です。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_60.html http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_27.html

マニュアル stats

statsの翻訳が一応終わりました。統計的推定パッケージです。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_80.html

マニュアル graphs

graphsの翻訳が一応終わりました。グラフ理論パッケージです。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_59.html グラフ理論は「わかる」奥深さがある感じがします。奥深さを反映する充実度のパッケージです。

マニュアル unit

unitの翻訳が一応終わりました。単位系パッケージですが、ezunitsとの違いよくわかっていません。物理定数の宣言はなく、変換重視という感じでしょうか。

マニュアル zeilberger, atensor

zeilbergerとatensorの翻訳が一応終わりました。超幾何項の定総和、不定総和のパッケージと(Grassman代数とかClifford代数とか)代数テンソル操作パッケージです。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_84.html http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/M…

マニュアル lsquares, orthopoly

lsquares, orthopolyの翻訳が一応終わりました。最小二乗法パッケージと直交多項式パッケージです。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_68.html http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_74.html lsquaresパッケージでは、plsquaresの例…

マニュアル minpack, linearalgebra

minpackとlinearalgebraの翻訳が一応終わりました。最小二乗法と方程式の数値解法パッケージ、線形代数パッケージです。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_69.html http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_67.html

マニュアル interpol, lapack

interpol, lapackの翻訳が一応終わりました。多項式内挿(補間)パッケージとLAPACKパッケージです。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_63.html http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_64.html

マニュアル ezunits

ezunitsの翻訳が一応終わりました。物理的な単位系を扱うパッケージです。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_54.html

マニュアル descriptive

descriptive(記述統計、いわゆる統計)の翻訳が一応終わりました。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_48.html

マニュアル solve_rec

マニュアルのsolve_recを訳しました。 http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/Maxima/maxima_79.html 線形漸化式や和を閉形式に解く関数があります。 (jurupapaさんの記事に触発されて訳しました。感謝。)

(61) Newtonの重力理論と楕円軌道

Newtonの万有引力理論では、二体問題の場合、軌道は楕円になります。 これを順を追って考えます。 角運動量とエネルギーが保存することから以下の式が時間に依存しなくなります。 について解きましょう。 /* 9.4.10m */ derivs : solve([(m/2)*(rDot^2 + r^2…

(62) 水星の近日点移動

一般相対論的な重力場での運動の場合、軌道は楕円にならず、近日点は移動します。これを導くため、Schwarzschild 解から出発します。Schwarzschild 解は以下のような重力場の方程式の球対称解です。この計量で測地線が満たさなければいけない方程式は以下に…

(60) ピンポン球の重力

半径aの薄い球体殻が生じるNewton重力は、殻の外の重力ポテンシャルに関して中心にある質点の重力と等しいことを確認しましょう。 /* 9.4.5m */ assume(not equal((r - a)*(r + a), 0))$ integral : integrate(a * (2 * %pi * a * sin(u)) / (r ^ 2 + a ^ 2 …

(59) Riemannゼータ函数の周辺(パス)

"Crandall"では、Riemannゼータ函数の零点の数値的観察の後、 有限級数と誤差評価による非零点領域の確認 量子振動子の波動函数と余弦積分変換による零点導出 Riemann予想が成り立つ場合のπ(x)の近似からの素数の数の見積もり と続きますが、スクリプトは移…

(58) Riemannゼータ函数の零点

Riemannゼータ函数の絶対値の2乗の逆数をプロットしてみましょう。 /* 9.3.8m */ plot3d(1/cabs(zeta(x +%i*y))^2, [x, 0, 1], [y, 10, 24], [grid, 50, 50], [z, 0, 40])$ x=0.5上のy=14, y=21付近に発散していく場所があることが見えます。実部を0.5に固定…

(57) ゼータ函数のEuler積

以下の恒等式が成り立ちます。右辺がEuler積と呼ばれる形です。これをMaximaを使って実感してみましょう。表示をシンプルにするため、sに-sを代入し、Euler積の中身をMaclaurin展開して、検証する次数まで取り出します。 /* 9.3.3m */ proofLimit : 15$ f(x,…

(56) Vandiverの判定基準

Fermat予想に対して、Kummerに続いて、Vandiverが、非正則素数pに関して以下を証明したそうです。 のうち、分子が素数pで割り切れるものをとします。 pより大きくp(p-1)より小さい素数で、rp+1(rは自然数)の形に書けるものPがあり、かつ、となる自然数uが存…

(55) 素数の正則性チェック(要加筆)

Fermatの最終定理が証明されるまでの歴史のなかで、Kummerが正則素数に限定したものを証明したそうです。正則素数pは、Bernoulli数の偶数項の分子のいずれも割り切らない素数という性質と同値であることがKummerによって示されたそうです。 では、素数の正則…

(50) スペクトル密度

波形とスペクトル密度の関係を見ます。通常は、パワースペクトルを見ますが、振幅の小さなところの特徴も見るため、振幅スペクトルを見ます。まず、振幅スペクトルを計算する関数とそれをプロットする関数を用意しましょう。 /* 8.2.9m */ load("fft")$ matc…

(52) 無限インパルス応答

以下のような無限インパルス応答(IIR)ディジタルフィルタについて考えます。c=0.95でgを0から0.9まで変化させた時のゲインをプロットしてみましょう。 /* 8.3.6m */ c : 0.95$ a : [2 * c * g, -c ^ 2]$ p : length(a)$ b : [-(2 * c * g) / (1 + c ^ 2)]$ q…

(54) 画像処理(パス)

"Crandall"には画像データのエッジ検出がありますが、Maximaで画像データを扱うライブラリを存じないので、パスします。 参考文献 Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.261-p.265

(53) 有限インパルス応答

有限インパルス応答(FIR)フィルタの場合、バンドパスフィルタは、周波数と共鳴幅を決めるとほぼ決ります。伝達函数は以下のような感じです。特定の周波数に関して、この伝達函数での周波数応答をプロットしてみましょう。 /* 8.3.13m */ sinc(x) := ( local(…

(51) 音声処理(パス)

"Crandall"には音声データのソノグラム可視化がありますが、Maximaで音声データを扱うライブラリを存じないので、パスします。 参考文献 Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.247-p.252

(49) 論理回路のKarnaugh図

以下の論理回路を例に、考えます。 この回路のKarnaugh図を生成してみましょう。 /* 8.1.14m */ nand(x, y) := not (x and y)$ logic(x, y) := nand(nand(x, y), nand(not x, not y))$ apply(matrix, makelist(makelist([a, b, logic(a>0, b>0)], a, 0, 1), …

(48) 定電圧源回路の静特性

以下の最も簡単な定電圧源回路を考えます。これは非線形回路の例になります。 対応する方程式は以下です。二番目の式は、Shockleyのダイオード方程式です。は飽和漏れ電流、qは素電荷、Tは絶対温度、kはBoltzmann定数です。室温(T=298K)、抵抗100Ωの条件で、…

(47) 能動フィルタを題材とした線形回路分析

能動フィルタのインピーダンスを求めます。 具体例として以下の回路を考えます。回路図エディタとして、回路シミュレータのPSIMを利用しました。PSIMは素子数と機能が限定されたデモ版がフリーで使うことができます。PSIMから上記回路のネットリストをファイ…

(46) 線形回路の定常解析

以下のようなLCR回路の周波数応答を考えます。 V1からV2を求める問題です。方程式を書き下すと、周波数領域でMaximaに解かせてみましょう。 /* 8.1.3m */ output : solve([%e ^ (%i * w * t) - v2 * %e ^ (%i * w * t) = i0 * %e ^ (%i * w * t) * r, i0 = i…

(45) Hodgkin-Huxley系の伝搬速度

ニューロンの活動電位の現象論的方程式Hodgkin-Huxley系を用いた軸索上の電位の伝搬速度について考えます。 出発点は、Hodgkin-Huxley系とケーブル理論になります。 Hodgikin-Huxley系はイオンチャンネルを加味した細胞膜の活動電位の方程式系です。: 膜電位…

(44) 種の絶滅

遺伝子ドリフトと類似の問題である種の絶滅について考えます。 2種類の種A, Bがあり、もし全個体数が一定nで、次の世代の占める割合の確率がそれぞれの個体数比に比例するとします。 Aの個体数がiの時、次の世代の個体数それぞれの確率は、Tは遷移確率行列と…