Crandall
Newtonの万有引力理論では、二体問題の場合、軌道は楕円になります。 これを順を追って考えます。 角運動量とエネルギーが保存することから以下の式が時間に依存しなくなります。 について解きましょう。 /* 9.4.10m */ derivs : solve([(m/2)*(rDot^2 + r^2…
一般相対論的な重力場での運動の場合、軌道は楕円にならず、近日点は移動します。これを導くため、Schwarzschild 解から出発します。Schwarzschild 解は以下のような重力場の方程式の球対称解です。この計量で測地線が満たさなければいけない方程式は以下に…
半径aの薄い球体殻が生じるNewton重力は、殻の外の重力ポテンシャルに関して中心にある質点の重力と等しいことを確認しましょう。 /* 9.4.5m */ assume(not equal((r - a)*(r + a), 0))$ integral : integrate(a * (2 * %pi * a * sin(u)) / (r ^ 2 + a ^ 2 …
"Crandall"では、Riemannゼータ函数の零点の数値的観察の後、 有限級数と誤差評価による非零点領域の確認 量子振動子の波動函数と余弦積分変換による零点導出 Riemann予想が成り立つ場合のπ(x)の近似からの素数の数の見積もり と続きますが、スクリプトは移…
Riemannゼータ函数の絶対値の2乗の逆数をプロットしてみましょう。 /* 9.3.8m */ plot3d(1/cabs(zeta(x +%i*y))^2, [x, 0, 1], [y, 10, 24], [grid, 50, 50], [z, 0, 40])$ x=0.5上のy=14, y=21付近に発散していく場所があることが見えます。実部を0.5に固定…
以下の恒等式が成り立ちます。右辺がEuler積と呼ばれる形です。これをMaximaを使って実感してみましょう。表示をシンプルにするため、sに-sを代入し、Euler積の中身をMaclaurin展開して、検証する次数まで取り出します。 /* 9.3.3m */ proofLimit : 15$ f(x,…
Fermat予想に対して、Kummerに続いて、Vandiverが、非正則素数pに関して以下を証明したそうです。 のうち、分子が素数pで割り切れるものをとします。 pより大きくp(p-1)より小さい素数で、rp+1(rは自然数)の形に書けるものPがあり、かつ、となる自然数uが存…
Fermatの最終定理が証明されるまでの歴史のなかで、Kummerが正則素数に限定したものを証明したそうです。正則素数pは、Bernoulli数の偶数項の分子のいずれも割り切らない素数という性質と同値であることがKummerによって示されたそうです。 では、素数の正則…
波形とスペクトル密度の関係を見ます。通常は、パワースペクトルを見ますが、振幅の小さなところの特徴も見るため、振幅スペクトルを見ます。まず、振幅スペクトルを計算する関数とそれをプロットする関数を用意しましょう。 /* 8.2.9m */ load("fft")$ matc…
以下のような無限インパルス応答(IIR)ディジタルフィルタについて考えます。c=0.95でgを0から0.9まで変化させた時のゲインをプロットしてみましょう。 /* 8.3.6m */ c : 0.95$ a : [2 * c * g, -c ^ 2]$ p : length(a)$ b : [-(2 * c * g) / (1 + c ^ 2)]$ q…
"Crandall"には画像データのエッジ検出がありますが、Maximaで画像データを扱うライブラリを存じないので、パスします。 参考文献 Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.261-p.265
有限インパルス応答(FIR)フィルタの場合、バンドパスフィルタは、周波数と共鳴幅を決めるとほぼ決ります。伝達函数は以下のような感じです。特定の周波数に関して、この伝達函数での周波数応答をプロットしてみましょう。 /* 8.3.13m */ sinc(x) := ( local(…
"Crandall"には音声データのソノグラム可視化がありますが、Maximaで音声データを扱うライブラリを存じないので、パスします。 参考文献 Crandall, Mathematica―理工系ツールとしての (アジソン ウェスレイ・トッパン情報科学シリーズ) p.247-p.252
以下の論理回路を例に、考えます。 この回路のKarnaugh図を生成してみましょう。 /* 8.1.14m */ nand(x, y) := not (x and y)$ logic(x, y) := nand(nand(x, y), nand(not x, not y))$ apply(matrix, makelist(makelist([a, b, logic(a>0, b>0)], a, 0, 1), …
以下の最も簡単な定電圧源回路を考えます。これは非線形回路の例になります。 対応する方程式は以下です。二番目の式は、Shockleyのダイオード方程式です。は飽和漏れ電流、qは素電荷、Tは絶対温度、kはBoltzmann定数です。室温(T=298K)、抵抗100Ωの条件で、…
能動フィルタのインピーダンスを求めます。 具体例として以下の回路を考えます。回路図エディタとして、回路シミュレータのPSIMを利用しました。PSIMは素子数と機能が限定されたデモ版がフリーで使うことができます。PSIMから上記回路のネットリストをファイ…
以下のようなLCR回路の周波数応答を考えます。 V1からV2を求める問題です。方程式を書き下すと、周波数領域でMaximaに解かせてみましょう。 /* 8.1.3m */ output : solve([%e ^ (%i * w * t) - v2 * %e ^ (%i * w * t) = i0 * %e ^ (%i * w * t) * r, i0 = i…
ニューロンの活動電位の現象論的方程式Hodgkin-Huxley系を用いた軸索上の電位の伝搬速度について考えます。 出発点は、Hodgkin-Huxley系とケーブル理論になります。 Hodgikin-Huxley系はイオンチャンネルを加味した細胞膜の活動電位の方程式系です。: 膜電位…
遺伝子ドリフトと類似の問題である種の絶滅について考えます。 2種類の種A, Bがあり、もし全個体数が一定nで、次の世代の占める割合の確率がそれぞれの個体数比に比例するとします。 Aの個体数がiの時、次の世代の個体数それぞれの確率は、Tは遷移確率行列と…
ある遺伝子座に2種類の遺伝子A, aがある場合を考えます。この形質Aaの表現型はAA, Aa, aaになります。 個体数nの中の遺伝子Aの頻度をfA, 遺伝子aの頻度をfa(=1-fA)とし、この集団からランダムに配偶子を選んで次世代が個体数n生まれるとします。遺伝子Aの頻…
二組の遺伝子座で組み換えが起こる確率を組み換え価と呼びます。 以下の組み換え価のテーブルを例に、組み換え価から遺伝的距離を求めることを考えます。 遺伝子座の組 組み換え価(%) a-b 50 a-c 15 a-d 38 a-e 8 b-c 50 b-d 13 b-e 50 c-d 50 c-e 7 d-e 45 …
ヘリウム原子の電子で、球対称な解について考えます。 ハミルトニアンはこの場合、となります。単位系は式がシンプルになるように取りました。 基底状態のエネルギーを求めるのに、以下の試行波動関数から出発します。は規格化されていると考えます。基底状…
水素原子のSchrödinger方程式は厳密解が知られていますが、より複雑な分子を検討する際の足場として数値解法を見ておくことは有意義です。 ここでは、角運動量が0の時の水素原子のSchrödinger方程式を有限要素法で解きます。対象となる微分方程式は、以下の…
従兄のジョーは化学工場の研究員である。彼は価値のある衛生商品を作り出す上で不可欠の材料であるSuperzapという物資の分析を任されている。SuperzapはZapとRegant Bから以下の反応によって合成される。 ZapとRegant Bよりずっと高価である。この反応定数K…
メタンが燃える反応では以下の変化が起こります。反応式の係数を求めるスクリプトを作りましょう。 /* 7.1.4m, 7.1.8m */ reactants : [[C, 1, H, 4], [O, 2]]$ products : [[C, 1, O, 2], [H, 2, O, 1]]$ atoms : []$ lexp : 0$ numvars : 1$ for r : 1 thr…
自己相似な三角形であるSierpinski三角形は、色々な方法で生成することができます。 ここでは、カオスゲーム(ランダム反復函数系)を使ってみます。 ある点に対して、ランダムに(0, 0), (1, 0), (0, 1)のいずれかを選び、ある点と選ばれた点の中点を与える写…
Mandelbrot集合は、以下の二次写像の反復函数系について、有界な解を与える複素数パラメータcの集合と定義されます。MaximaにはMandelbrot集合を扱うライブラリがいくつか用意されています。それらを使ってみましょう。 load("dynamics")$ load("draw")$ man…
離散力学系について考えます。(本質的にロジスティック写像と同じ)以下の写像を対象にします。例えば、c=1.23の時、初期値x=0から始めるこの繰り返し写像は2点からなる周期解に収束します。 これを見ておきましょう。 /* 6.3.2m */ load("dynamics")$ evolut…
KdV方程式の続きです。 KdV方程式の初期条件をポテンシャルとする定常Schrödinger方程式を解くと、KdV方程式の厳密解が求められることが知られています。 初期条件に以下を仮定します。これをポテンシャルとする定常Schrödinger方程式の解は以下になります。…
Korteweg-de Vries方程式を調べます。これは、非線形微分方程式ですが、可積分であることが知られています。 1ソリトンの厳密解として、以下が知られています。確認してみましょう。 /* 6.2.3m */ u : -2*sech(x - 4*t)^2$ trigsimp(diff(u, t) - 6*u*diff(u…
